Метод эквивалентных преобразований. Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Цели занятия.

Обучающая :

• познакомить учащихся с общей схемой решения уравнений с радикалами “методом неэквивалентных преобразований” и “методом эквивалентных преобразований”;
• обучить решению иррациональных уравнений данными методами.

Развивающая :

Воспитывающая :

Оборудование:проектор.

Программное обеспечение :

Форма занятия: лекционная.

Методы обучения: объяснение, беседа.

Эпиграф урока: (Cлайд 2)

“Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду”. Л.Н. Толстой

Ход занятия

1. Организационный момент.

Сегодня нам предстоит продолжить знакомство с иррациональными алгебраическими выражениями, методами решения уравнений с радикалами. На прошлом занятии мы учились решать уравнения методом замены переменной. Сегодня мы познакомимся с методами неэквивалентных и эквивалентных преобразований.

2. Актуализация знаний.

Фронтальная беседа по теоретическому материалу.

Какие уравнения называются иррациональными? Слайд 2. Презентация

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.

На прошлом занятии мы рассмотрели два метода решения иррациональных уравнений: возведение обеих частей уравнения в квадрат и замена переменной. Слайды 3, 4

B12 № 263802. Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где R= 6400 (км) - радиус Земли.

С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километра? Ответ выразите в километрах.

Задача сводится к решению уравнений при заданном значении R:

Примечание. Заметим, что полученная величина равна 1,25 метра, т.е. соответствует уровню глаз ребенка.

Ответ: 0,00125.

Метод замены переменной и условие его использования (стр. 250 -251)

Какой есть ещё способ решения этого уравнения? Предполагаемый ответ учащихся: возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Вопрос учителя: Будет ли это эквивалентным, т.е. равносильным преобразованием?

Проблемная ситуация.

3. Объяснение нового материала.

Неэквивалентные преобразования с проверкой.

1. Разбор решения примера 5.1.2.

Решение уравнение (с.253) .

2. Решение задания В5 №12569 у доски.

Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них. Ответ: -8.

3. Замечание 1. Иногда вместо проверки путём подстановки найденных корней итогового уравнения (следствия) в исходное уравнение просто проверяют, входят ли корни в так называемую “область допустимых значений” (ОДЗ) исходного уравнения. Это в принципе неверно. Напомним, что областью допустимых значений уравнения называется множество тех значений переменной, при которых обе части уравнения определены (с.253) .

4. Замечание 2. В простых случаях – когда и исходное уравнение, и получающиеся корни уравнения- следствия не слишком громоздкие, - проверка подстановкой в исходное уравнение особых затруднений не вызывает. Однако представьте себе, что нужно проверить подстановкой значения, например, вида вычисления будут несколько утомительными (мягко говоря!). Поэтому при решении уравнений с радикалами, не говоря о неравенствах, гораздо предпочтительнее равносильные (эквивалентные) преобразования (с.254).

Метод эквивалентных преобразований.

Решение уравнений вида: = ,

1. Разбор решенийуравнений (примеры:

2 = -3 = -4 = -1.

Ответ: 1) 1; 2) нет корней; 3) нет корней; 4) нет корней; 5) 3 (с.111-113) ..

2. Решение задания №30.14(б): Решить уравнение

Ответ: 2. (с 192) . .

Решение иррациональных уравнений, используя переход к смешанной системе.

1. Разбор решения примера 5.1.3.

Решение уравнение (с.255) .

2. Проанализировать устно решение задания В5 №12569 методом перехода к смешанной системе.

3. Решение уравнения Слайд 7. (Показать решение)

4. Первичное осмысление материала.

1. Решение уравнения Слайд 8. (Решить самостоятельно)

2. Решение уравнения с практическим содержанием.

B12 № 27983. При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где м – длина покоящейся ракеты, км/с – скорость света, а – скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

Найдем, при какой скорости длина ракеты станет равна 5 м. Задача сводится к решению уравнения при заданном значении длины покоящейся ракеты м и известной величине скорости света км/с.

Метод эквивалентных преобразований заключается в том, что электрическую цепь или ее часть заменяют более простой по структуре электрической цепью. При этом токи и напряжения в непреобразованной части цепи должны оставаться неизменными. В любое последовательное соединение может входить произвольное число сопротивлений (резисторов) и источников ЭДС, а также не более одного источника тока.

Наличие более одного источника тока в соединении исключается вследствие логического противоречия, т.к. в последовательном соединении через все элементы протекает одинаковый ток и этот ток равен току источника. Если же источников тока несколько, то они должны формировать несколько различных токов, что невозможно по характеру их соединения. Присутствие источника в соединении означает лишь то, что ток в этом соединении задан, поэтому без ущерба для общности выводов источник тока можно вынести за пределы соединения и не рассматривать. Тогда в общем случае в соединение будут входитьm сопротивлений и n источников ЭДС (рис а). Не изменяя режима работы соединения, их можно переместить так, чтобы образовались две группы элементов: сопротивления и источники ЭДС (рис. б). Для этой цепи можно написать уравнение Кирхгофа в виде:

U=IR1+IR2+…+IRm+E1+…-En-1+En=I(R1+R2+…Rm)+E1…-En-1+En=IR+E

Таким образом, любое последовательное соединение элементов можно представить последовательным соединением одного сопротивленияR и одного источника ЭДС E Причем, общее сопротивление соединения равно сумме всех сопротивлений

а общая ЭДС – алгебраической сумме

6.Метод узловых потенциалов

Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчеты электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Допустим, что в схеме n узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней, один из узлов схемы можно мысленно зазамлить, т. е.принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с n до n-1. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономным, чем метод контурных токов. Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма сил токов для каждого узла в разветвленной цепи равна нулю I1+I2+I3+…+In=0

7.Метод двух узлов

Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов. Под методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы. Схема имеет два узла. Потенциал точки 2 примем равным нулю φ2 = 0. Составим узловое уравнение для узла 1.

φ1(g1+g2+g3)- φ2(g1+g2+g3)=E1g1-E3g3

U12= φ1- φ2= φ1= (E1g1-E3g3)/g1+g2+g3, где

g1=1/R1, g2=1/R2, g3=1/R3 – проводимости ветвей

В общем виде

В знаменателе формулы - сумма проводимостей параллельно включенных ветвей. В числителе - алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимости ветвей, в которые эти ЭДС включены. ЭДС в формуле записывается со знаком "плюс", если она направлена к узлу 1, и со знаком "минус", если направлена от узла 1.После вычисления величины потенциала φ1 находим токи в ветвях, используя закон Ома для активной и пассивной ветви.

8 .Метод контурных токов

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схмы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей. Т. о., метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было составить для схемы по второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма произведений сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока на этом участке равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура.I1R1+I2R2=E1+E2

Токи в сопротивлениях R1 и R2 равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R3, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11 и I22, так как эти токи направлены в ветви с R3 встречно. Выбираются независимые контуры, и задаются произвольные направления контурных токов.В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке. Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Уравнения для этих контуров имеют следующий вид: I11(R1+Ri1)+I11R3-I22R3=E1,

I22(Ri2-R2)+I22R3-I11R3=-E2 Перегруппируем слагаемые в уравнениях I11(R1+Ri1+R3)-I22R3=E1=E11, -I11R3+I22(Ri2+R2+R3)=-E2=E22 Суммарное сопротивление данного контура называется собственным сопротивлением контура. Cобственные сопротивления контуров схемы R11=R1+Ri1+R3, R22=Ri2+R2+R3 Сопротивление R3, принадлежащее одновременно двум контурам, называется общим сопротивлением этих контуров. R12=R21=R3 где R12 - общее сопротивление между первым и вторым контурами;R21 - общее сопротивление между вторым и первым контурами.E11 = E1 и E22 = E2 - контурные ЭДС.В общем виде уравнения (4.4) и (4.5) записываются следующим образом I11R11+I22R12=E11, I11R21+I22R22=E22 Собственные сопротивления всегда имеют знак "плюс".

Общее сопротивление имеет знак "минус", если в данном сопротивлении контурные токи направлены встречно друг другу, и знак "плюс", если контурные токи в общем сопротивлении совпадают по направлению. Решая уравнения совместно, находим контурные токи I11 и I22 , затем от контурных токов переходим к токам в ветвях. I1=I11, I2=I22,I3=I11-I22.

9.Метод наложения. Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными. Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается

соотношением:Здесь- комплекс входной проводимости k – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях;- комплекс взаимной проводимости k – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, используя их указанную смысловую трактовку, при этом, что непосредственно вытекает из свойства взаимности. Аналогично определяются коэффициенты передачи тока, которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными.

Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов.

Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например, то получим(2),где

-определитель системы уравнений, составленный по методу контурных токов;- алгебраическое дополнение определителя.Каждая из ЭДС в (2) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i–го контура. Если теперь все контурные ЭДС в (2) заменить алгебраическими суммами ЭДС в соответствующих ветвях, то после группировки слагаемых получится выражение для контурного тока в виде алгебраической суммы составляющих токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей в отдельности. Поскольку систему независимых контуров всегда можно выбрать так, что рассматриваемая h-я ветвь войдет только в один-й контур, т.е. контурный токбудет равен действительному токуh-й ветви, то принцип наложения справедлив для токовлюбых ветвей и, следовательно, справедливость принципа наложения доказана.Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложения следует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются – это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи.

Первый закон Кирхгофа

В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю

Второй закон Кирхгофа

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках

Расчет электрической цепи с использованием законов Кирхгофа. Баланс мощностей

Опираясь на законы Ома и Кирхгофа можно рассчитать абсолютно любую электрическую цепь. Другие методы расчета цепей разработаны исключительно для уменьшения объема требуемых вычислений.

Последовательность действий:

Произвольно назначают направления токов в ветвях.

Произвольно назначают направления обхода контуров.

Записывают У - 1 уравнение по I закону Кирхгофа. (У - число узлов в цепи).

Записывают В - У + 1 уравнение по II закону Кирхгофа. (В - число ветвей в цепи).

Решают систему уравнений относительно токов и уточняют величины падений напряжения на элементах.

Примечания:

При составлении уравнений слагаемые берут со знаком "+" в случае, если направление обхода контура совпадает с направлением падения напряжения, тока или ЭДС. В противном случае со знаком "-".

Если при решении системы уравнений будут получены отрицательные токи, то выбранное направление не совпадает с реальным.

Следует выбирать те контуры, в которых меньше всего элементов.

Правильность расчетов можно проверить, составив баланс мощностей . В электрической цепи сумма мощностей источников питания равна сумме мощностей потребителей:

Следует помнить, что тот или иной источник схемы может не генерировать энергию, а потреблять ее (процесс зарядки аккумуляторов). В таком случае направление тока, протекающего по участку с этим источником, встречное направлению ЭДС. Источники в таком режиме должны войти в баланс мощностей со знаком "-".

Метод контурных токов

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов . Основой для него служит второй закон Кирхгофа.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6.

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

R11=R1+R4+R5=10+25+30= 65 Ом

R22=R2+R4+R6=15+25+35 = 75 Ом

R33=R3+R5+R6=20+30+35= 85 Ом

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

R12=R21=R4=25 Ом

R23=R32=R6=35 Ом

R31=R13=R5=30 Ом

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:

Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру . То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных

Метод эквивалентных преобразований

Некоторые сложные электрические цепи содержат несколько приемников, но только один источник. Такие цепи могут быть рассчитаны методом эквивалентных преобразований. В основе этого метода лежит возможность преобразования двух последовательно соединенных или параллельно соединенных резисторов R1 и R2 к одному эквивалентному Rэкв.Эквивалентные преобразования в электрической цепи Для определения эквивалентного сопротивления Rэкв следует воспользоваться основными законами электрических цепей. Условием эквивалентного преобразования должно быть сохранение тока и напряжения рассматриваемого участка: I = Iэкв, U = Uэкв. Для исходного участка цепи по II закону Кирхгофа с учетом закона Ома для каждого из двух последовательно соединенных элементов: U = U1 + U2 = R1I + R2I = (R1 + R2)I . Для эквивалентного элемента по закону Ома: Uэкв = Rэкв* Iэкв. С учетом условий эквивалентного преобразования U = Uэкв = (R1 + R2)I = (R1 + R2)Iэкв = Rэкв* Iэкв. Отсюда Rэкв = (R1 + R2). Это соотношение определяет сопротивление элемента, эквивалентного двум последовательно соединенным элементам. Для двух параллельно соединенных элементов по I закону Кирхгофа с учетом закона Ома для каждого из двух параллельно соединенных элементов: I = I1 + I2 = U/R1 + U/R2 = U(1/R1 + 1/R2). Для эквивалентного элемента по закону Ома: Iэкв = Uэкв/Rэкв. С учетом условий эквивалентного преобразования I = Iэкв = U(1/R1 + 1/R2) = Uэкв(1/R1 + 1/R2) = Uэкв/Rэкв, отсюда 1/Rэкв = 1/R1 + 1/R2 (1.59) или Rэкв = (R1 R2)/(R1 + R2). Это соотношение определяет сопротивление элемента, эквивалентного двум параллельно соединенным элементам. Соотношения позволяют проводить поэтапные эквивалентные преобразования сложной электрической цепи с несколькими приемниками и осуществлять расчет такой цепи. При заданных параметрах всех элементов цепи (E, R1, R2, R3) расчет может быть проведен методом эквивалентных преобразований следующим образом. На первом этапе преобразования два параллельно соединенных резистора R1 и R2 заменяются одним эквивалентным с сопротивлением Rэкв12, равным Rэкв12 = (R1* R2)/(R1 + R2). (1.61) При этом образуется эквивалентная цепь, в которой содержатся два резистора Rэкв12 и R3, соединенные последовательно. Напряжение Uab в эквивалент- ной цепи соответствует напряжению Uab в исходной цепи, а ток в эквивалент- ной цепи соответствует току в неразветвленной части исходной цепи. На втором этапе преобразования два последовательно соединенных резистора Rэкв12 и R2 заменяются одним эквивалентным с сопротивлением Rэкв123, равным Rэкв123 = Rэкв12 + R3 . При этом образуется простая эквивалентная цепь, в которой содержится один резистор Rэкв123. Ток в этой цепи соответствует току в неразветвленной части исходной цепи и определяется по закону Ома: I = Uac/ Rэкв123 = E/ Rэкв123 . Дальнейший расчет ведется по закону Ома, следуя по этапам эквивалентных преобразований в обратном порядке. Для эквивалентной цепи: Uab = I* Rэкв12 ; Ubc = I* R3 . Для исходной цепи: I1 = Uab/R1 ; I2 = Uab/R2 .Таким образом, описанный метод эквивалентных преобразований позволяет рассчитать сложную электрическую цепь, не сводя задачу к решению системы уравнений, а путем последовательных вычислений. Однако этот метод применим к цепям, содержащим лишь один источник ЭДС

Статья

«Алгоритм решения задач на расчет линейных электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований».

Подготовил

Учитель физики и информатики

Хусаинов Иосиф Хосьянович

Алгоритм решения задач методом эквивалентных преобразований

Задачи как средство обучения и воспитания учащихся на уроках физики.

Организация деятельности учащихся по решению задач - одно из важнейших условий повышения качества знаний по физике. Физической задачей в учебной практике обычно называют небольшую проблему, которая в общем случае решается с помощью логических умозаключений, математических действий и эксперимента на основе законов и методов физики. В методической же и учебной литературе под задачами обычно понимают целесообразно подобранные упражнения, главное назначение которых заключается в изучение физических явлений, формирование понятий, развитие физического мышления учащихся и развитием умений применять свои знания на практике.

Физическая задача - это ситуация, требующая от учащихся мыслительных и практических действий на основе законов и методов физики, направленных на овладение знаниями по физике и на развитие мышления. Решение задач по физике помогает учащимся ознакомиться с основами современного производства и с сущностью многих профессий, приобрести политехнические знания и умения, способствует глубокому и прочному усвоению физических понятий и законов, показывает применимость законов физики на практике, а также с помощью задач можно воспитать трудолюбие, настойчивость, волю, характер, целеустремленность. Важное значение имеют задачи как средство диагностики общего умственного развития и специальных способностей учащихся. Процесс решения задач также является средством контроля за знаниями, и умениями, и навыками учащихся.

Классификация задач.

Задачи по физике классифицируются по многим признакам: по содержанию, назначению, способам решения, способам задания условия, степени трудности и т.д. По содержанию задачи следует классифицировать, прежде всего, в зависимости от их физического материала. Различают задачи по механике, молекулярной физике, электродинамике и т.д. Различают задачи с абстрактным и конкретным содержанием. Достоинство абстрактных задач состоит в том, что в них выделяется и подчеркивается физическая сущность, выяснению которой не мешают несущественные детали. Достоинство конкретных задач-большая наглядность и связь с жизнью. Задачи, содержащие материал о технике, промышленном и сельскохозяйственном производствах, транспорте и связи, называют задачами с политехническим содержанием. Ряд задач содержит сведения исторического характера: данные о классических опытах, открытиях, изобретениях или даже исторических легендах. Такие задачи называют задачами с историческим содержанием. Широкое распространение получили занимательные задачи. Отличительная их черта-использование необычных, парадоксальных или занимательных фактов или явлений. Их решение оживляет урок, повышает интерес к физике. В зависимости от характера и методов исследований вопросов различают качественные и вычислительные задачи. Качественными называют задачи, при решении которых устанавливают только качественную зависимость между физическими величинами. Как правило, вычисления при решении таких задач не производят. Количественными называют задачи, при решении которых устанавливают количественную зависимость между искомыми величинами, а ответ получают в виде формулы или число.

Метод эквивалентных преобразований

Наша цель рассмотреть линейные электрические цепи постоянного тока. Решать будем методом эквивалентных преобразований. Причем рассмотрим задачи, в которых можно использовать алгоритм расчета электрический цепей, содержащих точки (узлы) равных потенциалов. И попробуем сформулировать алгоритм для решения задач такого типа.

Задачи эти хорошо известны и есть во многих сборниках задач по физике. Мы попробуем собрать их в одном месте и проанализировать способы решения, найти общие закономерности и сформулировать алгоритм их решения.

Вначале рассмотрим некоторые общие моменты, касающиеся всех электрических цепей.

Электрической цепью называется совокупность устройств и объектов, образующих путь электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об ЭДС, токе и напряжения.

Электрические цепи имеют элементы, которые могут быть отображены графически, что называется схемой. Участок цепи с одним и тем же током называется - ветвь. Место соединения ветвей называется узел.

Любой замкнутый путь электрического тока, проходящий по нескольким ветвям, называется контур. Независимый контур отличается от другого контура хотя бы одной ветвью.

Будем рассматривать электрическую цепь с одним источником питания. Но цепь может быть разветвленная и неразветвленная, при этом может иметь последовательное соединение проводников, параллельное соединение и смешанное соединение проводников.

R экв

U = U 1+ U 2+ U 3

Напряжение равно сумме напряжений на отдельных элементах

R экв= R 1+ R 2+ R 3

Эквивалентное сопротивление последовательно соединенных пассивных элементов равно сумме сопротивлений этих элементов.

При параллельном соединении неизменным остается напряжение на всех элементах и общность их значения.

Эквивалентная проводимость параллельно соединенных пассивных элементов равна сумме проводимостей этих элементов

G экв= G 1+ G 2+ G 3 или 1/ R экв=1/ R 1+1/ R 2+1/ R 3

Сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме токов в отдельных ветвях электрической цепи

B

R экв

U ab

Смешанное соединение пассивных элементов представляет собой совокупность последовательно и параллельно соединенных элементов

Каков же алгоритм метода эквивалентных преобразований.

1.Находим в сложной цепи те элементы, которые соединены друг с другом либо параллельно, либо последовательно.

2. Заменяем их эквивалентным элементом. Получаем более простую схему.

3.В полученной схеме снова находим такие элементы, которые можно объединить, заменив эквивалентным. Еще раз упрощаем схему.

4. Этот процесс продолжаем до тех пор пока в схеме останется лишь один элемент.

5. Находим значение каждого из эквивалентных элементов, включая общее сопротивление всей цепи (R экв).

Расчет и анализ электрических цепей может быть произведен с помощью закона Ома.

Закон Ома для участка не содержащего источник тока I = U / R

При наличии источника постоянного тока формула выглядит так

I =

Рассмотрим пример решения задачи.

Электрическая цепь задана следующими параметрами элементов:

E =312 B , r =1 Ом, R 1=3 Ом. , R 2=, R 3=20 Ом, R 4=8Ом, R 5=16 Ом, R 6=7 Ом. Рассчитать токи во всех ветвях, падение напряжения на отдельных участках.

R4526

R4,5

R45263

R экв

I . 1.Элементы (резисторы) R4 R 5 соединены параллельно их общее сопротивление

R 45 = =5.33(Ом)

2. Резисторы R 2 R 45 R 6 соединены последовательно. Найдем их эквивалентное сопротивление

R 4526= R 45+ R 2+ R 6 R 4526=5.33+6+7=18.33

3. Резистор R 3 подключен параллельно к R 4526

R 45263= =9.56 (Ом)

4. Эквивалентное соединение внешней цепи состоит из соединенных последовательно R 1 и R 45263

R экв= R 1+ R 45263 R экв=12.56 (Ом)

II . 1.ток потребляемый схемой согласно закона Ома для полной цепи

I= I=23 (A) ; I 1 =I;

2.остальные токи и напряжения на отдельных участках цепи находятся путем развертывания эквивалентной схемы (рис5) до исходной (рис.1)

Рис.4; Напряжение на участке «ас» Uac = I * R 45263. Uac=23*9.56=220 (B)

Рис 3. I 3 = I 3 =220/20=11 ( А ) I 2 = I 2 =220/18.33=12 ( А )

Рис.2 Напряжение на участке « bd » Ubd = I 2 * R 45 Ubd =12*5.33=64 ( B )

Рис . 1 I 4 = I 5 = I 4 = 8(A) I 5 = 4(A)

Как быть, если не удается построить эквивалентную схему, выделив в ней участки, с последовательным или параллельным соединением. Можно попытаться построить эквивалентную схему, если в цепи есть точки с равными потенциалами, так как эти точки можно как разъединять, так и соединять. Чтобы найти точки равного потенциала надо посмотреть на электрическую схему с точки зрения ее симметричности. Если схема обладает симметричностью, причем вход и выход электрической цепи лежат на оси симметрии, то точки будут распределяться симметрично относительно оси, проходящей через вход-выход, будут иметь равные потенциалы. В роли симметрии может выступать и линия, и плоскость. Равным потенциалом обладают также заземленные точки электрической схемы. Рассмотрим такие задачи.

1.Определить электрическое сопротивление каркаса в виде квадрата, середина противоположных сторон которого соединены между собой и в середине спаяны. Каркас включен в цепь диагональными вершинами. Сопротивление звена r .

2. Определить сопротивление цепи изображенной на рис.7. Сопротивление каждого элемента равно r

В схеме электрической цепи, изображенной на рис.6 ось симметрии проходит вдоль диагонали ACB . Следовательно, можно разъединить цепь в точке С. Получим эквивалентную схему, изображенную на рисунке Рис.7, к которой теперь можно применить алгоритм эквивалентных преобразований. Для участка ACDB имеем 2 участка ( D 1- D - D 2 и D 1- C - D 2), внутри соединенных последовательно друг с другом. R 12 = R 34 = r + r =2 r , которые соединены между собой параллельно. R 1234 = r . Последовательно с этим участком соединены 2 резистора (2элемента A - D 1 и D 2- B ) сопротивление r , каждый. R экв1= r + r + r =3 r .

Участок ACEB симметричен участку ACDB . Его сопротивление тоже равно 3 r . В итоге имеем два участка сопротивлением 3 r каждый, которые соединены друг с другом параллельно. Получаем эквивалентное сопротивление R экв=3 r /2/

Рассмотрим цепь, изображенную на рисунке Рис.8. Хорошо видно, что есть точки равного потенциала. Это точки B , D , а также точки C , E . Исходя из этого, перерисуем нашу электрическую схему. Получилась схема, изображенная на рисунке Рис.9. Теперь наша схема не вызывает трудности для применения алгоритма построения эквивалентных преобразований.

Три сопротивления(резистора) между точками B , E соединены параллельно их эквивалентное сопротивление R экв1= r /3. Далее имеем три последовательно, соединенных резистора. R = r + r /3+ r .

Точки С, относительно точки А имеют одинаковый потенциал и их можно соединить. Точки D относительно точки B имеют одинаковый потенциал. Эти точки тоже можно соединить. Остальные точки (Вершины куба) находятся между ними. В Результате получается электрическая цепь, изображенная на рисунке Рис.11, которая эквивалентна электрической цепи, изображенной на рисунке Рис12. К последней схеме легко применяется алгоритм эквивалентных преобразований. Участок AC . Три параллельно, соединенных проводника. Общее сопротивление R экв1= r /3. Участок CD . Шесть параллельно, соединенных проводников. Эквивалентное соединение учаска R экв2= r /6. Наконец, участок DB . Три параллельно, соединенных проводника. Эквивалентное соединение R экв3= r /3. Теперь у нас три последовательно соединенных проводника. Эквивалентное сопротивление

R = R экв1+ R экв2+ R экв3

R = r /3+ r /6+ r /3= r

От точки А до точки В имеем две параллельно соединенные цепи: каждая состоит из последовательно включенных половины стороны шестиугольника, ромба и снова половины стороны шестиугольника. Сопротивление ромба равно R , а потому сопротивление одной из цепей равно 2 R . Следовательно сопротивление всего каркаса равно R .

Провода соединены по схеме рис. 13. Сопротивление каждого из проводников равно 1 Ом. Чему равно сопротивление R между точками основания треугольника (А и В)

Указание к решению.

Рис 13.

R AOB = R ACB . Следовательно U C = U O , и ток в ветви OC равен нулю. Эта ветвь не изменяет сопротивления между точками A и B , его величина равна сопротивлению трех ветвей ACB , AOB , AB , которые включены параллельно между точками A и B . Поэтому 1/ R AB =1/2+1/2+1=2;

R AB =1/2.

Литература.

1.Гольдфарб Н.И. Сборник вопросов и задач по физике.-М.: «Высшая школа», 1976

2.Громов С.В. Физика 10. Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений.- М.: «Просвещение», 2002

3. Кабардин О.Ф. Физика. Справочные материалы.- М.: «Просвещение», 1991

4. Павленко Ю.Г. Начала физики.-М.: Издательство Московского университета, 1988

5. Шаскольская М.П., Эльцин И.А. Сборник избранных задач по физике.-М.: Издательство «Наука», 1969.